量子电路是量子计算机的核心部分，专门用来执行各类量子计算任务。然而，与传统经典电路相比，量子电路面临诸多技术挑战。在量子态制备环节，如何节省资源，如减少量子门操作的数量、降低电路的复杂程度（即电路深度），是亟待解决的关键科学问题。这些因素不仅直接决定量子算法的运行效率与可扩展性，还与如何减轻噪声干扰、提高量子态稳定性等密切相关，是推动量子计算走向实用化的重要前提。为此，科学家们一直面临一个核心难题，即为了制备特定的量子态，量子电路太浅了，量子态制备不准；太深了，又浪费资源。那么，量子电路到底需要多深才算“刚刚好”？

最近，中国科学院理论物理研究所苏刚教授与该所彭桓武理论物理创新研究中心青年访问科学家、首都师范大学冉仕举教授，本科生祁硕以及莆田学院李文君副教授等人合作，提出了一种新的多体纠缠度量方法，通过分析多体纠缠熵与保真度的标度关系来优化量子电路，对上述难题给出了一个可实用化执行的解决方案，这一工作将量子纠缠、张量网络与量子计算实现结合起来，兼具重要理论价值与广阔应用前景。相关论文最近发表在Physical Review Letters 136, 020602 （2026）。

量子计算的强大能力，很大程度上归功于量子纠缠这一神奇现象。简单来说，纠缠是指多个粒子之间存在一种特殊的量子关联，即使它们相距遥远，其中一个粒子的状态变化会瞬间影响到其他粒子。我们通常用二体纠缠来描述两个粒子间的这种关联，它在诸多领域展现出了重要的应用价值。然而，当面临描述更复杂、规模更大的量子系统时，例如涉及几百甚至上万个粒子协同作用的场景，仅仅依靠二体纠缠描述显然不够。此时，多体纠缠成为理解和驾驭这些复杂量子系统的关键。

对于复杂的量子系统，张量网络可以提供理解多体纠缠的新视角，它是一种强大的数学工具。可以把张量网络想象成一个精巧的“积木”结构，每一个积木张量代表了量子系统中的一部分信息，而这些积木通过特定的方式连接起来，就构建出了整个系统的量子状态。其中，矩阵乘积态 (MPS) 是最常见也是非常重要的一种张量网络形式。MPS特别对具有一维特性的量子多体系统有效，并且它的复杂度可以通过一个被称为“虚拟维度χ”的参数来调控。

基于张量网络，研究团队创新性地将矩阵乘积态作为参考流形，提出了一种全新的多体纠缠度量方法，引入了新的物理量：特定χ矩阵乘积纠缠(χ-specified matrix product entanglement, 简写为χ-MPE)。其核心思想是：与传统几何纠缠仅考虑与乘积态流形的距离、以及难以有效反映多体纠缠的复杂结构不同，χ-MPE将目标量子状态与“最优”的张量网络状态进行比较。这里的“最优”，是指目标状态与具有特定虚拟维度χ的MPS流形之间的最小保真距离。可以这样理解，我们不是直接衡量一个状态有多么“纠缠”，而是看它与“最接近”的、复杂度受限（由χ决定）的量子状态（MPS）有多远的距离。当χ=1 时，MPS就退化成了最简单的“乘积态”，这时χ-MPE就变成了人们熟悉的“几何纠缠”，它衡量的是与完全没有纠缠的状态（乘积态）间的距离。随χ的增大，流形覆盖的纠缠态范围逐步扩展，χ-MPE衡量的是与更复杂、但仍受限于特定复杂度（χ）纠缠态（MPS）之间的距离，如下图所示。

研究团队进一步将χ-MPE与变分量子电路的“深度 (D)”联系起来。在量子计算中，电路的深度（即量子门连接的层数）直接关系到计算的效率、对噪声的敏感度以及所需资源的多少。研究发现，χ-MPE与量子电路制备目标状态的保真度 (F)（衡量制备出的状态与目标状态有多接近）之间存在着奇妙的标度关系。他们通过理论推导和数值模拟，揭示了三种重要的标度行为：

    1.超线性标度 (Superlinear Scaling)： 当 χ-MPE相对于态制备负对数保真度（F）增长过快时，表明量子电路的深度D是“过剩”的。也就是说，电路太深了，浪费了量子资源。

    2.线性标度 (Linear Scaling)： 当 χ-MPE与F近似成线性关系时，预示着量子电路的深度D是“最优”的。此时，电路深度“刚刚好”。论文也给出了一个严格的证明：对于χ=2的MPS流形，它所代表的状态空间恰好等同于单层量子电路（D=1）所能达到的状态空间，从而在理论上建立了线路深度与纠缠结构之间的对应关系。

    3.亚线性标度 (Sublinear Scaling)：当χ-MPE相对于F增长得过慢时，说明量子电路的深度D是“不足”的，电路太浅了。

χ-MPE创新性地提供了一种新颖且可控的方式来量化多体纠缠，它与张量网络紧密结合，为理解复杂量子系统提供了新的工具。通过分析χ-MPE与保真度的标度关系，可以直接判断当前变分量子电路的深度是否最优，从而指导量子算法的设计和优化，降低资源消耗，提高量子计算的效率和鲁棒性，是量子电路优化的利器。另外，这种基于张量网络的方法可以推广到其他类型的张量网络结构，为评估更广泛的量子电路在制备各类张量网络状态时的最优性提供了可能。

该研究得到科技部、中国科学院、国家自然科学基金委、北京市等项目支持。